حل {l}{y=2x-5}{y=-4x+7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x - 5 } \\ { y = - 4 x + 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=2$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=-5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 4x لكلا الجانبين.

$$y+4x=7$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-2x=-5,y+4x=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-2x=-5$$

أضف 2x إلى طرفي المعادلة.

$$y=2x-5$$

عوّض عن y بالقيمة 2x-5 في المعادلة الأخرى، y+4x=7.

$$2x-5+4x=7$$

اجمع 2x مع 4x.

$$6x-5=7$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$6x=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y=2x-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=2\times 2-5$$

اضرب 2 في 2.

$$y=4-5$$

اجمع -5 مع 4.

$$y=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-1,x=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=-5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 4x لكلا الجانبين.

$$y+4x=7$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-2x=-5,y+4x=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-2\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-5\right)+\frac{1}{3}\times 7\\-\frac{1}{6}\left(-5\right)+\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-1,x=2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=-5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 4x لكلا الجانبين.

$$y+4x=7$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-2x=-5,y+4x=7$$

اطرح y+4x=7 من y-2x=-5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-2x-4x=-5-7$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2x-4x=-5-7$$

اجمع -2x مع -4x.

$$-6x=-5-7$$

اجمع -5 مع -7.

$$-6x=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y+4x=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+4\times 2=7$$

اضرب 4 في 2.

$$y+8=7$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$y=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-1,x=2$$