حل {l}{y=-2x+1}{y=4x-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 2 x + 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=1$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=-5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+2x=1$$

اطرح 2x من طرفي المعادلة.

$$y=-2x+1$$

عوّض عن y بالقيمة -2x+1 في المعادلة الأخرى، y-4x=-5.

$$-2x+1-4x=-5$$

اجمع -2x مع -4x.

$$-6x+1=-5$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$-6x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=1$$

عوّض عن x بالقيمة 1 في y=-2x+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-2+1$$

اجمع 1 مع -2.

$$y=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-1,x=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=-5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-2}&-\frac{2}{-4-2}\\-\frac{1}{-4-2}&\frac{1}{-4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-5\right)\\\frac{1}{6}-\frac{1}{6}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-1,x=1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة 2x لكلا الجانبين.

$$y+2x=1$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 4x من الطرفين.

$$y-4x=-5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+2x=1,y-4x=-5$$

اطرح y-4x=-5 من y+2x=1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y+2x+4x=1+5$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2x+4x=1+5$$

اجمع 2x مع 4x.

$$6x=1+5$$

اجمع 1 مع 5.

$$6x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=1$$

عوّض عن x بالقيمة 1 في y-4x=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y-4=-5$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$y=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-1,x=1$$