حل {l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اختزل الكسر \frac{4}{6} إلى أبسط قيمة من خلال استخراج 2 وشطبه.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2x}{3}-5 في المعادلة الأخرى، 5y+8x=-45.

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

اضرب 5 في -\frac{2x}{3}-5.

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

اجمع -\frac{10x}{3} مع 8x.

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

أضف 25 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{14}{3}x=-20$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{14}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-\frac{30}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{30}{7} في y=-\frac{2}{3}x-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

اضرب -\frac{2}{3} في -\frac{30}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{20}{7}-5$$

اجمع -5 مع \frac{20}{7}.

$$y=-\frac{15}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اختزل الكسر \frac{4}{6} إلى أبسط قيمة من خلال استخراج 2 وشطبه.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

إضافة \frac{2}{3}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اختزل الكسر \frac{4}{6} إلى أبسط قيمة من خلال استخراج 2 وشطبه.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

إضافة \frac{2}{3}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

لجعل y و5y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

تبسيط.

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

اطرح 5y+8x=-45 من 5y+\frac{10}{3}x=-25 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

اجمع 5y مع -5y. حذف الحدين 5y و-5y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

اجمع \frac{10x}{3} مع -8x.

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

اجمع -25 مع 45.

$$-\frac{14}{3}x=20$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{14}{3}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-\frac{30}{7}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{30}{7} في 5y+8x=-45. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

اضرب 8 في -\frac{30}{7}.

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

أضف \frac{240}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$5y=-\frac{75}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=-\frac{15}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$