حل {l}{y=-3/4x+3/4}{y=4/3x+11/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 3 } { 4 } } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x + \frac { 11 } { 3 } } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة \frac{3}{4}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{4}{3}x من الطرفين.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

اطرح \frac{3x}{4} من طرفي المعادلة.

$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{-3x+3}{4} في المعادلة الأخرى، y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

اجمع -\frac{3x}{4} مع -\frac{4x}{3}.

$$-\frac{25}{12}x+\frac{3}{4}=\frac{11}{3}$$

اطرح \frac{3}{4} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{25}{12}x=\frac{35}{12}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{25}{12}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-\frac{7}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{7}{5} في y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\frac{3}{4}\left(-\frac{7}{5}\right)+\frac{3}{4}$$

اضرب -\frac{3}{4} في -\frac{7}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{21}{20}+\frac{3}{4}$$

اجمع \frac{3}{4} مع \frac{21}{20} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{9}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة \frac{3}{4}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{4}{3}x من الطرفين.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}&\frac{9}{25}\\\frac{12}{25}&-\frac{12}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}\times \frac{3}{4}+\frac{9}{25}\times \frac{11}{3}\\\frac{12}{25}\times \frac{3}{4}-\frac{12}{25}\times \frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة \frac{3}{4}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{4}{3}x من الطرفين.

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

اطرح y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3} من y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y+\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

اجمع \frac{3x}{4} مع \frac{4x}{3}.

$$\frac{25}{12}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

اجمع \frac{3}{4} مع -\frac{11}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$\frac{25}{12}x=-\frac{35}{12}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{25}{12}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-\frac{7}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{7}{5} في y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y-\frac{4}{3}\left(-\frac{7}{5}\right)=\frac{11}{3}$$

اضرب -\frac{4}{3} في -\frac{7}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y+\frac{28}{15}=\frac{11}{3}$$

اطرح \frac{28}{15} من طرفي المعادلة.

$$y=\frac{9}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$