حل {l}{y=3/2x+5/2}{y=-2/3x+14/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 3 } { 2 } x + \frac { 5 } { 2 } } \\ { y = - \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 14 } { 3 } } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=1$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{3}{2}x من الطرفين.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة \frac{2}{3}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2},y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

أضف \frac{3x}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3x+5}{2} في المعادلة الأخرى، y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}.

$$\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

اجمع \frac{3x}{2} مع \frac{2x}{3}.

$$\frac{13}{6}x+\frac{5}{2}=\frac{14}{3}$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{13}{6}x=\frac{13}{6}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{6}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=1$$

عوّض عن x بالقيمة 1 في y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{3+5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع \frac{3}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=4,x=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{3}{2}x من الطرفين.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة \frac{2}{3}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2},y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{2}\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}&-\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{9}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{6}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times \frac{5}{2}+\frac{9}{13}\times \frac{14}{3}\\-\frac{6}{13}\times \frac{5}{2}+\frac{6}{13}\times \frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=4,x=1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{3}{2}x من الطرفين.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة \frac{2}{3}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2},y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}$$

اطرح y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3} من y-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-\frac{3}{2}x-\frac{2}{3}x=\frac{5}{2}-\frac{14}{3}$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-\frac{3}{2}x-\frac{2}{3}x=\frac{5}{2}-\frac{14}{3}$$

اجمع -\frac{3x}{2} مع -\frac{2x}{3}.

$$-\frac{13}{6}x=\frac{5}{2}-\frac{14}{3}$$

اجمع \frac{5}{2} مع -\frac{14}{3} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$-\frac{13}{6}x=-\frac{13}{6}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{13}{6}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=1$$

عوّض عن x بالقيمة 1 في y+\frac{2}{3}x=\frac{14}{3}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+\frac{2}{3}=\frac{14}{3}$$

اطرح \frac{2}{3} من طرفي المعادلة.

$$y=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=4,x=1$$