حل {l}{y=1/2x-1}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x - 1 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=2$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{2}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{2}x=-1$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$y-\frac{1}{2}x=-1,y+2x=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$y-\frac{1}{2}x=-1$$

أضف \frac{x}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$y=\frac{1}{2}x-1$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{x}{2}-1 في المعادلة الأخرى، y+2x=4.

$$\frac{1}{2}x-1+2x=4$$

اجمع \frac{x}{2} مع 2x.

$$\frac{5}{2}x-1=4$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{2}x=5$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y=\frac{1}{2}x-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{1}{2}\times 2-1$$

اضرب \frac{1}{2} في 2.

$$y=1-1$$

اجمع -1 مع 1.

$$y=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=0,x=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{2}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{2}x=-1$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y-\frac{1}{2}x=-1,y+2x=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\left(-1\right)+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{5}\left(-1\right)+\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=0,x=2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{1}{2}x من الطرفين.

$$y-\frac{1}{2}x=-1$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y-\frac{1}{2}x=-1,y+2x=4$$

اطرح y+2x=4 من y-\frac{1}{2}x=-1 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$y-y-\frac{1}{2}x-2x=-1-4$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-\frac{1}{2}x-2x=-1-4$$

اجمع -\frac{x}{2} مع -2x.

$$-\frac{5}{2}x=-1-4$$

اجمع -1 مع -4.

$$-\frac{5}{2}x=-5$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=2$$

عوّض عن x بالقيمة 2 في y+2x=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y+2\times 2=4$$

اضرب 2 في 2.

$$y+4=4$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$y=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=0,x=2$$