حل {l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. يمكن إعادة كتابة الكسر \frac{-4}{5} كـ -\frac{4}{5} عن طريق استخراج العلامة السالبة.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{4x}{5}-9 في المعادلة الأخرى، 3y+8x=-45.

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

اضرب 3 في -\frac{4x}{5}-9.

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

اجمع -\frac{12x}{5} مع 8x.

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

أضف 27 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{28}{5}x=-18$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{28}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-\frac{45}{14}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{45}{14} في y=-\frac{4}{5}x-9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

اضرب -\frac{4}{5} في -\frac{45}{14} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=\frac{18}{7}-9$$

اجمع -9 مع \frac{18}{7}.

$$y=-\frac{45}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. يمكن إعادة كتابة الكسر \frac{-4}{5} كـ -\frac{4}{5} عن طريق استخراج العلامة السالبة.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

إضافة \frac{4}{5}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة \frac{8x}{3} لكلا الجانبين.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$3y+8x=-45$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. يمكن إعادة كتابة الكسر \frac{-4}{5} كـ -\frac{4}{5} عن طريق استخراج العلامة السالبة.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

إضافة \frac{4}{5}x لكلا الجانبين.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة \frac{8x}{3} لكلا الجانبين.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$3y+8x=-45$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

لجعل y و3y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

تبسيط.

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

اطرح 3y+8x=-45 من 3y+\frac{12}{5}x=-27 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

اجمع 3y مع -3y. حذف الحدين 3y و-3y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

اجمع \frac{12x}{5} مع -8x.

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

اجمع -27 مع 45.

$$-\frac{28}{5}x=18$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{28}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-\frac{45}{14}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{45}{14} في 3y+8x=-45. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

اضرب 8 في -\frac{45}{14}.

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

أضف \frac{180}{7} إلى طرفي المعادلة.

$$3y=-\frac{135}{7}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=-\frac{45}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$