حل {l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x_1، x_2

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير x_{1} مساوياً لـ 0 لأن القسمة على صفر غير محددة. اضرب طرفي المعادلة في x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

اطرح 2x_{1} من الطرفين.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x_{1} بعزل x_{1} على يسار علامة التساوي.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

اطرح x_{2} من طرفي المعادلة.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

عوّض عن x_{1} بالقيمة -x_{2}+97 في المعادلة الأخرى، -2x_{1}+x_{2}=0.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

اضرب -2 في -x_{2}+97.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

اجمع 2x_{2} مع x_{2}.

$$3x_{2}-194=0$$

أضف 194 إلى طرفي المعادلة.

$$3x_{2}=194$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

عوّض عن x_{2} بالقيمة \frac{194}{3} في x_{1}=-x_{2}+97. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x_{1} مباشرةً.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

اجمع 97 مع -\frac{194}{3}.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير x_{1} مساوياً لـ 0 لأن القسمة على صفر غير محددة. اضرب طرفي المعادلة في x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

اطرح 2x_{1} من الطرفين.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x_{1} وx_{2}.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. لا يمكن أن يكون المتغير x_{1} مساوياً لـ 0 لأن القسمة على صفر غير محددة. اضرب طرفي المعادلة في x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

اطرح 2x_{1} من الطرفين.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

اطرح -2x_{1}+x_{2}=0 من x_{1}+x_{2}=97 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

اجمع x_{2} مع -x_{2}. حذف الحدين x_{2} و-x_{2}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

اجمع x_{1} مع 2x_{1}.

$$3x_{1}=97$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

عوّض عن x_{1} بالقيمة \frac{97}{3} في -2x_{1}+x_{2}=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x_{2} مباشرةً.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

اضرب -2 في \frac{97}{3}.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

أضف \frac{194}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$