حل {l}{x-y=2x}{2x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 x } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=16$$

$$y=-16$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$x-y-2x=0$$

اجمع x مع -2x لتحصل على -x.

$$-x-y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-x-y=0$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$-x=y$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=-y$$

عوّض عن x بالقيمة -y في المعادلة الأخرى، 2x+y=16.

$$2\left(-1\right)y+y=16$$

اضرب 2 في -y.

$$-2y+y=16$$

اجمع -2y مع y.

$$-y=16$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-16$$

عوّض عن y بالقيمة -16 في x=-y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-16\right)$$

اضرب -1 في -16.

$$x=16$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=16,y=-16$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$x-y-2x=0$$

اجمع x مع -2x لتحصل على -x.

$$-x-y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-16\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=16,y=-16$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2x من الطرفين.

$$x-y-2x=0$$

اجمع x مع -2x لتحصل على -x.

$$-x-y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-x-y=0,2x+y=16$$

لجعل -x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-1\right)y=0,-2x-y=-16$$

تبسيط.

$$-2x-2y=0,-2x-y=-16$$

اطرح -2x-y=-16 من -2x-2y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x-2y+y=16$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y+y=16$$

اجمع -2y مع y.

$$-y=16$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-16$$

عوّض عن y بالقيمة -16 في 2x+y=16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-16=16$$

أضف 16 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=32$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=16$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=16,y=-16$$