حل {l}{x-y=2a}{2x+3y=5-a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 a } \\ { 2 x + 3 y = 5 - a } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=a+1$$

$$y=1-a$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-y=2a$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$x=y+2a$$

عوّض عن x بالقيمة y+2a في المعادلة الأخرى، 2x+3y=5-a.

$$2\left(y+2a\right)+3y=5-a$$

اضرب 2 في y+2a.

$$2y+4a+3y=5-a$$

اجمع 2y مع 3y.

$$5y+4a=5-a$$

اطرح 4a من طرفي المعادلة.

$$5y=5-5a$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=1-a$$

عوّض عن y بالقيمة 1-a في x=y+2a. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=1-a+2a$$

اجمع 2a مع 1-a.

$$x=a+1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=a+1,y=1-a$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2a\\5-a\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2a+\frac{1}{5}\left(5-a\right)\\-\frac{2}{5}\times 2a+\frac{1}{5}\left(5-a\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a+1\\1-a\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=a+1,y=1-a$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-y=2a,2x+3y=5-a$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 2a,2x+3y=5-a$$

تبسيط.

$$2x-2y=4a,2x+3y=5-a$$

اطرح 2x+3y=5-a من 2x-2y=4a عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x-2y-3y=4a+a-5$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y-3y=4a+a-5$$

اجمع -2y مع -3y.

$$-5y=4a+a-5$$

اجمع 4a مع -5+a.

$$-5y=5a-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=1-a$$

عوّض عن y بالقيمة 1-a في 2x+3y=5-a. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+3\left(1-a\right)=5-a$$

اضرب 3 في 1-a.

$$2x+3-3a=5-a$$

اطرح 3-3a من طرفي المعادلة.

$$2x=2a+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=a+1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=a+1,y=1-a$$