حل {l}{x-y=2}{4x=7y+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { 4 x = 7 y + 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 7y من الطرفين.

$$4x-7y=5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-y=2,4x-7y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-y=2$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$x=y+2$$

عوّض عن x بالقيمة y+2 في المعادلة الأخرى، 4x-7y=5.

$$4\left(y+2\right)-7y=5$$

اضرب 4 في y+2.

$$4y+8-7y=5$$

اجمع 4y مع -7y.

$$-3y+8=5$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$-3y=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=1+2$$

اجمع 2 مع 1.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 7y من الطرفين.

$$4x-7y=5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-y=2,4x-7y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-7-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-7-\left(-4\right)}&\frac{1}{-7-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 5\\\frac{4}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 7y من الطرفين.

$$4x-7y=5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-y=2,4x-7y=5$$

لجعل x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 2,4x-7y=5$$

تبسيط.

$$4x-4y=8,4x-7y=5$$

اطرح 4x-7y=5 من 4x-4y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x-4y+7y=8-5$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y+7y=8-5$$

اجمع -4y مع 7y.

$$3y=8-5$$

اجمع 8 مع -5.

$$3y=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في 4x-7y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-7=5$$

أضف 7 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=1$$