حل {l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-y=10$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$x=y+10$$

عوّض عن x بالقيمة y+10 في المعادلة الأخرى، 2x+2y+\frac{1}{2}=200.

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

اضرب 2 في y+10.

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

اجمع 2y مع 2y.

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

اجمع 20 مع \frac{1}{2}.

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

اطرح \frac{41}{2} من طرفي المعادلة.

$$4y=\frac{359}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=\frac{359}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{359}{8} في x=y+10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{359}{8}+10$$

اجمع 10 مع \frac{359}{8}.

$$x=\frac{439}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

تبسيط.

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

اطرح 2x+2y+\frac{1}{2}=200 من 2x-2y=20 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

اجمع -2y مع -2y.

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

اجمع 20 مع -200.

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

أضف \frac{1}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=\frac{359}{8}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{359}{8} في 2x+2y+\frac{1}{2}=200. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

اضرب 2 في \frac{359}{8}.

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

اجمع \frac{359}{4} مع \frac{1}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

اطرح \frac{361}{4} من طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{439}{4}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{439}{8}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$