حل {l}{x-4y=5}{-2x-y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-4y=5$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$x=4y+5$$

عوّض عن x بالقيمة 4y+5 في المعادلة الأخرى، -2x-y=-4.

$$-2\left(4y+5\right)-y=-4$$

اضرب -2 في 4y+5.

$$-8y-10-y=-4$$

اجمع -8y مع -y.

$$-9y-10=-4$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$-9y=6$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=-\frac{2}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2}{3} في x=4y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=4\left(-\frac{2}{3}\right)+5$$

اضرب 4 في -\frac{2}{3}.

$$x=-\frac{8}{3}+5$$

اجمع 5 مع -\frac{8}{3}.

$$x=\frac{7}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&-\frac{-4}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 5-\frac{4}{9}\left(-4\right)\\-\frac{2}{9}\times 5-\frac{1}{9}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-4y=5,-2x-y=-4$$

لجعل x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-2x-2\left(-4\right)y=-2\times 5,-2x-y=-4$$

تبسيط.

$$-2x+8y=-10,-2x-y=-4$$

اطرح -2x-y=-4 من -2x+8y=-10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-2x+2x+8y+y=-10+4$$

اجمع -2x مع 2x. حذف الحدين -2x و2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y+y=-10+4$$

اجمع 8y مع y.

$$9y=-10+4$$

اجمع -10 مع 4.

$$9y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$y=-\frac{2}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2}{3} في -2x-y=-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x-\left(-\frac{2}{3}\right)=-4$$

اطرح \frac{2}{3} من طرفي المعادلة.

$$-2x=-\frac{14}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=\frac{7}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7}{3},y=-\frac{2}{3}$$