حل {l}{x-25=3(y+25)}{x+y=120}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 25 = 3 ( y + 25 ) } \\ { x + y = 120 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=115$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في y+25.

$$x-25=3y+75$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$x-25-3y=75$$

إضافة 25 لكلا الجانبين.

$$x-3y=75+25$$

اجمع 75 مع 25 لتحصل على 100.

$$x-3y=100$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-3y=100,x+y=120$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-3y=100$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$x=3y+100$$

عوّض عن x بالقيمة 3y+100 في المعادلة الأخرى، x+y=120.

$$3y+100+y=120$$

اجمع 3y مع y.

$$4y+100=120$$

اطرح 100 من طرفي المعادلة.

$$4y=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=3y+100. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=3\times 5+100$$

اضرب 3 في 5.

$$x=15+100$$

اجمع 100 مع 15.

$$x=115$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=115,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في y+25.

$$x-25=3y+75$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$x-25-3y=75$$

إضافة 25 لكلا الجانبين.

$$x-3y=75+25$$

اجمع 75 مع 25 لتحصل على 100.

$$x-3y=100$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-3y=100,x+y=120$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 100+\frac{3}{4}\times 120\\-\frac{1}{4}\times 100+\frac{1}{4}\times 120\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=115,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في y+25.

$$x-25=3y+75$$

اطرح 3y من الطرفين.

$$x-25-3y=75$$

إضافة 25 لكلا الجانبين.

$$x-3y=75+25$$

اجمع 75 مع 25 لتحصل على 100.

$$x-3y=100$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-3y=100,x+y=120$$

اطرح x+y=120 من x-3y=100 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x-x-3y-y=100-120$$

اجمع x مع -x. حذف الحدين x و-x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-y=100-120$$

اجمع -3y مع -y.

$$-4y=100-120$$

اجمع 100 مع -120.

$$-4y=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x+y=120. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+5=120$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$x=115$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=115,y=5$$