حل {l}{x-2y=10}{2x+3y=-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = 10 } \\ { 2 x + 3 y = - 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-2y=10,2x+3y=-8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-2y=10$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$x=2y+10$$

عوّض عن x بالقيمة 10+2y في المعادلة الأخرى، 2x+3y=-8.

$$2\left(2y+10\right)+3y=-8$$

اضرب 2 في 10+2y.

$$4y+20+3y=-8$$

اجمع 4y مع 3y.

$$7y+20=-8$$

اطرح 20 من طرفي المعادلة.

$$7y=-28$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x=2y+10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2\left(-4\right)+10$$

اضرب 2 في -4.

$$x=-8+10$$

اجمع 10 مع -8.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-2y=10,2x+3y=-8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10+\frac{2}{7}\left(-8\right)\\-\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-2y=10,2x+3y=-8$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2\left(-2\right)y=2\times 10,2x+3y=-8$$

تبسيط.

$$2x-4y=20,2x+3y=-8$$

اطرح 2x+3y=-8 من 2x-4y=20 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x-4y-3y=20+8$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-3y=20+8$$

اجمع -4y مع -3y.

$$-7y=20+8$$

اجمع 20 مع 8.

$$-7y=28$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في 2x+3y=-8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+3\left(-4\right)=-8$$

اضرب 3 في -4.

$$2x-12=-8$$

أضف 12 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-4$$