حل {l}{x-2y=-6}{6x+3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = - 6 } \\ { 6 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{14}{15}\approx -0.933333333$$

$$y = \frac{38}{15} = 2\frac{8}{15} \approx 2.533333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-2y=-6$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$x=2y-6$$

عوّض عن x بالقيمة -6+2y في المعادلة الأخرى، 6x+3y=2.

$$6\left(2y-6\right)+3y=2$$

اضرب 6 في -6+2y.

$$12y-36+3y=2$$

اجمع 12y مع 3y.

$$15y-36=2$$

أضف 36 إلى طرفي المعادلة.

$$15y=38$$

قسمة طرفي المعادلة على 15.

$$y=\frac{38}{15}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{38}{15} في x=2y-6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2\times \frac{38}{15}-6$$

اضرب 2 في \frac{38}{15}.

$$x=\frac{76}{15}-6$$

اجمع -6 مع \frac{76}{15}.

$$x=-\frac{14}{15}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{3-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{2}{15}\times 2\\-\frac{2}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{15}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{15}\\\frac{38}{15}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

لجعل x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-6\right),6x+3y=2$$

تبسيط.

$$6x-12y=-36,6x+3y=2$$

اطرح 6x+3y=2 من 6x-12y=-36 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x-12y-3y=-36-2$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-12y-3y=-36-2$$

اجمع -12y مع -3y.

$$-15y=-36-2$$

اجمع -36 مع -2.

$$-15y=-38$$

قسمة طرفي المعادلة على -15.

$$y=\frac{38}{15}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{38}{15} في 6x+3y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x+3\times \frac{38}{15}=2$$

اضرب 3 في \frac{38}{15}.

$$6x+\frac{38}{5}=2$$

اطرح \frac{38}{5} من طرفي المعادلة.

$$6x=-\frac{28}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=-\frac{14}{15}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$