حل {l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

لمعرفة مقابل y+3، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

اطرح 6x من الطرفين.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

اجمع 2x مع -6x لتحصل على -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$-4x-y-3-2y=2$$

اجمع -y مع -2y لتحصل على -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

إضافة 3 لكلا الجانبين.

$$-4x-3y=2+3$$

اجمع 2 مع 3 لتحصل على 5.

$$-4x-3y=5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 2.

$$5x+y=4x-2$$

اطرح 4x من الطرفين.

$$5x+y-4x=-2$$

اجمع 5x مع -4x لتحصل على x.

$$x+y=-2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-4x-3y=5$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$-4x=3y+5$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

اضرب -\frac{1}{4} في 3y+5.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y-5}{4} في المعادلة الأخرى، x+y=-2.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

اجمع -\frac{3y}{4} مع y.

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

أضف \frac{5}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

ضرب طرفي المعادلة في 4.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

اضرب -\frac{3}{4} في -3.

$$x=\frac{9-5}{4}$$

اجمع -\frac{5}{4} مع \frac{9}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

لمعرفة مقابل y+3، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

اطرح 6x من الطرفين.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

اجمع 2x مع -6x لتحصل على -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$-4x-y-3-2y=2$$

اجمع -y مع -2y لتحصل على -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

إضافة 3 لكلا الجانبين.

$$-4x-3y=2+3$$

اجمع 2 مع 3 لتحصل على 5.

$$-4x-3y=5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 2.

$$5x+y=4x-2$$

اطرح 4x من الطرفين.

$$5x+y-4x=-2$$

اجمع 5x مع -4x لتحصل على x.

$$x+y=-2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اضرب طرفي المعادلة في 2.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

لمعرفة مقابل y+3، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

اطرح 6x من الطرفين.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

اجمع 2x مع -6x لتحصل على -4x.

$$-4x-y-3=2y+2$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$-4x-y-3-2y=2$$

اجمع -y مع -2y لتحصل على -3y.

$$-4x-3y-3=2$$

إضافة 3 لكلا الجانبين.

$$-4x-3y=2+3$$

اجمع 2 مع 3 لتحصل على 5.

$$-4x-3y=5$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 2.

$$5x+y=4x-2$$

اطرح 4x من الطرفين.

$$5x+y-4x=-2$$

اجمع 5x مع -4x لتحصل على x.

$$x+y=-2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

لجعل -4x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -4.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

تبسيط.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

اطرح -4x-4y=8 من -4x-3y=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

اجمع -4x مع 4x. حذف الحدين -4x و4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y+4y=5-8$$

اجمع -3y مع 4y.

$$y=5-8$$

اجمع 5 مع -8.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x+y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-3=-2$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-3$$