حل {l}{x(1-2x)-y(1-y)=(y-sqrt{2}x)(y+sqrt{2}x)+3}{2x-(2y-1/4)^2+161/16=(2y+3)(3-2y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ( 1 - 2 x ) - y ( 1 - y ) = ( y - \sqrt { 2 } x ) ( y + \sqrt { 2 } x ) + 3 } \\ { 2 x - ( 2 y - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + 16 \frac { 1 } { 16 } = ( 2 y + 3 ) ( 3 - 2 y ) } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب x في 1-2x.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب y في 1-y.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

لمعرفة مقابل y-y^{2}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

ضع في الحسبان \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). يمكن تحويل عملية الضرب إلى فرق بين المربعات باستخدام القاعدة: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

توسيع \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

إيجاد مربع \sqrt{2} هو 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

اطرح y^{2} من الطرفين.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

اجمع y^{2} مع -y^{2} لتحصل على 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

إضافة 2x^{2} لكلا الجانبين.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

اجمع -2x^{2} مع 2x^{2} لتحصل على 0.

$$x-y=3$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

لمعرفة مقابل 4y^{2}-y+\frac{1}{16}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 16 في 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

اضرب 16 في 16 لتحصل على 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

اجمع -1 مع 256 لتحصل على 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

اجمع 255 مع 1 لتحصل على 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 16 في 2y+3.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 32y+48 في 3-2y وجمع الحدود المتشابهة.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

إضافة 64y^{2} لكلا الجانبين.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

اجمع -64y^{2} مع 64y^{2} لتحصل على 0.

$$32x+16y+256=144$$

اطرح 256 من الطرفين.

$$32x+16y=144-256$$

اطرح 256 من 144 لتحصل على -112.

$$32x+16y=-112$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-y=3$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$x=y+3$$

عوّض عن x بالقيمة y+3 في المعادلة الأخرى، 32x+16y=-112.

$$32\left(y+3\right)+16y=-112$$

اضرب 32 في y+3.

$$32y+96+16y=-112$$

اجمع 32y مع 16y.

$$48y+96=-112$$

اطرح 96 من طرفي المعادلة.

$$48y=-208$$

قسمة طرفي المعادلة على 48.

$$y=-\frac{13}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{13}{3} في x=y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{13}{3}+3$$

اجمع 3 مع -\frac{13}{3}.

$$x=-\frac{4}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب x في 1-2x.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب y في 1-y.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

لمعرفة مقابل y-y^{2}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

ضع في الحسبان \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). يمكن تحويل عملية الضرب إلى فرق بين المربعات باستخدام القاعدة: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

توسيع \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

إيجاد مربع \sqrt{2} هو 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

اطرح y^{2} من الطرفين.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

اجمع y^{2} مع -y^{2} لتحصل على 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

إضافة 2x^{2} لكلا الجانبين.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

اجمع -2x^{2} مع 2x^{2} لتحصل على 0.

$$x-y=3$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

لمعرفة مقابل 4y^{2}-y+\frac{1}{16}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 16 في 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

اضرب 16 في 16 لتحصل على 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

اجمع -1 مع 256 لتحصل على 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

اجمع 255 مع 1 لتحصل على 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 16 في 2y+3.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 32y+48 في 3-2y وجمع الحدود المتشابهة.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

إضافة 64y^{2} لكلا الجانبين.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

اجمع -64y^{2} مع 64y^{2} لتحصل على 0.

$$32x+16y+256=144$$

اطرح 256 من الطرفين.

$$32x+16y=144-256$$

اطرح 256 من 144 لتحصل على -112.

$$32x+16y=-112$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\32&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{16-\left(-32\right)}&-\frac{-1}{16-\left(-32\right)}\\-\frac{32}{16-\left(-32\right)}&\frac{1}{16-\left(-32\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{48}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-112\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{1}{48}\left(-112\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب x في 1-2x.

$$x-2x^{2}-y\left(1-y\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب y في 1-y.

$$x-2x^{2}-\left(y-y^{2}\right)=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

لمعرفة مقابل y-y^{2}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=\left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right)+3$$

ضع في الحسبان \left(y-\sqrt{2}x\right)\left(y+\sqrt{2}x\right). يمكن تحويل عملية الضرب إلى فرق بين المربعات باستخدام القاعدة: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}x\right)^{2}+3$$

توسيع \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}+3$$

إيجاد مربع \sqrt{2} هو 2.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}=y^{2}-2x^{2}+3$$

اطرح y^{2} من الطرفين.

$$x-2x^{2}-y+y^{2}-y^{2}=-2x^{2}+3$$

اجمع y^{2} مع -y^{2} لتحصل على 0.

$$x-2x^{2}-y=-2x^{2}+3$$

إضافة 2x^{2} لكلا الجانبين.

$$x-2x^{2}-y+2x^{2}=3$$

اجمع -2x^{2} مع 2x^{2} لتحصل على 0.

$$x-y=3$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 16.

$$16\left(2x-\left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(2y-\frac{1}{4}\right)^{2}.

$$16\left(2x-\left(4y^{2}-y+\frac{1}{16}\right)\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

لمعرفة مقابل 4y^{2}-y+\frac{1}{16}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$16\left(2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}\right)+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 16 في 2x-4y^{2}+y-\frac{1}{16}.

$$32x-64y^{2}+16y-1+16\times 16+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

اضرب 16 في 16 لتحصل على 256.

$$32x-64y^{2}+16y-1+256+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

اجمع -1 مع 256 لتحصل على 255.

$$32x-64y^{2}+16y+255+1=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

اجمع 255 مع 1 لتحصل على 256.

$$32x-64y^{2}+16y+256=16\left(2y+3\right)\left(3-2y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 16 في 2y+3.

$$32x-64y^{2}+16y+256=\left(32y+48\right)\left(3-2y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 32y+48 في 3-2y وجمع الحدود المتشابهة.

$$32x-64y^{2}+16y+256=-64y^{2}+144$$

إضافة 64y^{2} لكلا الجانبين.

$$32x-64y^{2}+16y+256+64y^{2}=144$$

اجمع -64y^{2} مع 64y^{2} لتحصل على 0.

$$32x+16y+256=144$$

اطرح 256 من الطرفين.

$$32x+16y=144-256$$

اطرح 256 من 144 لتحصل على -112.

$$32x+16y=-112$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-y=3,32x+16y=-112$$

لجعل x و32x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 32 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$32x+32\left(-1\right)y=32\times 3,32x+16y=-112$$

تبسيط.

$$32x-32y=96,32x+16y=-112$$

اطرح 32x+16y=-112 من 32x-32y=96 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$32x-32x-32y-16y=96+112$$

اجمع 32x مع -32x. حذف الحدين 32x و-32x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-32y-16y=96+112$$

اجمع -32y مع -16y.

$$-48y=96+112$$

اجمع 96 مع 112.

$$-48y=208$$

قسمة طرفي المعادلة على -48.

$$y=-\frac{13}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{13}{3} في 32x+16y=-112. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$32x+16\left(-\frac{13}{3}\right)=-112$$

اضرب 16 في -\frac{13}{3}.

$$32x-\frac{208}{3}=-112$$

أضف \frac{208}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$32x=-\frac{128}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 32.

$$x=-\frac{4}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{4}{3},y=-\frac{13}{3}$$