حل {l}{x^2+y^2=9}{x+y=a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y = a } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

خطوات استخدام التعويض والصيغة التربيعية

أوجد قيمة x+y=a لـ x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=a$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+a$$

عوّض عن x بالقيمة -y+a في المعادلة الأخرى، y^{2}+x^{2}=9.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

مربع -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

اجمع y^{2} مع y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

هذه المعادلة بالصيغة العامة: ax^{2}+bx+c=0. عوّض عن a بالقيمة 1+1\left(-1\right)^{2} وعن b بالقيمة 1\left(-1\right)\times 2a وعن c بالقيمة -9+a^{2} في الصيغة التربيعية، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

مربع 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

اضرب -4 في 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

اضرب -8 في -9+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

اجمع 4a^{2} مع 72-8a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

استخدم الجذر التربيعي للعدد 72-4a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

اضرب 2 في 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

حل المعادلة y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} الآن عندما يكون ± موجباً. اجمع 2a مع 2\sqrt{18-a^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

اقسم 2a+2\sqrt{18-a^{2}} على 4.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

حل المعادلة y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} الآن عندما يكون ± سالباً. اطرح 2\sqrt{18-a^{2}} من 2a.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

اقسم 2a-2\sqrt{18-a^{2}} على 4.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

هناك حلان لـ y: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} و\frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. عوّض عن y بالقيمة \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} في المعادلة x=-y+a لإيجاد الحل المقابل لـ x الذي يحقق المعادلتين.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

الآن عوض عن y بالقيمة \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2} في المعادلة x=-y+a وحل المعادلة لإيجاد الحل المقابل لـ x الذي يحقق المعادلتين.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 3\sqrt{2}$$

خطوات استخدام التعويض والصيغة التربيعية

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=9$$

أوجد قيمة x+y=a لـ x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=a$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+a$$

عوّض عن x بالقيمة -y+a في المعادلة الأخرى، y^{2}+x^{2}=9.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

مربع -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

اجمع y^{2} مع y^{2}.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

هذه المعادلة بالصيغة العامة: ax^{2}+bx+c=0. عوّض عن a بالقيمة 1+1\left(-1\right)^{2} وعن b بالقيمة 1\left(-1\right)\times 2a وعن c بالقيمة -9+a^{2} في الصيغة التربيعية، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

مربع 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

اضرب -4 في 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

اضرب -8 في -9+a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

اجمع 4a^{2} مع 72-8a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

استخدم الجذر التربيعي للعدد 72-4a^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

اضرب 2 في 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

حل المعادلة y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} الآن عندما يكون ± موجباً. اجمع 2a مع 2\sqrt{18-a^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

اقسم 2a+2\sqrt{18-a^{2}} على 4.

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

حل المعادلة y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} الآن عندما يكون ± سالباً. اطرح 2\sqrt{18-a^{2}} من 2a.

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

اقسم 2a-2\sqrt{18-a^{2}} على 4.

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

هناك حلان لـ y: \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} و\frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2}. عوّض عن y بالقيمة \frac{a+\sqrt{18-a^{2}}}{2} في المعادلة x=-y+a لإيجاد الحل المقابل لـ x الذي يحقق المعادلتين.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

الآن عوض عن y بالقيمة \frac{a-\sqrt{18-a^{2}}}{2} في المعادلة x=-y+a وحل المعادلة لإيجاد الحل المقابل لـ x الذي يحقق المعادلتين.

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$