حل {l}{x=3y}{2y-3x=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y } \\ { 2 y - 3 x = 28 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-12$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3y من الطرفين.

$$x-3y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-3y=0,-3x+2y=28$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-3y=0$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$x=3y$$

عوّض عن x بالقيمة 3y في المعادلة الأخرى، -3x+2y=28.

$$-3\times 3y+2y=28$$

اضرب -3 في 3y.

$$-9y+2y=28$$

اجمع -9y مع 2y.

$$-7y=28$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x=3y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=3\left(-4\right)$$

اضرب 3 في -4.

$$x=-12$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-12,y=-4$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3y من الطرفين.

$$x-3y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-3y=0,-3x+2y=28$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\28\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\times 28\\-\frac{1}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-12,y=-4$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 3y من الطرفين.

$$x-3y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-3y=0,-3x+2y=28$$

لجعل x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-3x-3\left(-3\right)y=0,-3x+2y=28$$

تبسيط.

$$-3x+9y=0,-3x+2y=28$$

اطرح -3x+2y=28 من -3x+9y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3x+3x+9y-2y=-28$$

اجمع -3x مع 3x. حذف الحدين -3x و3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$9y-2y=-28$$

اجمع 9y مع -2y.

$$7y=-28$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في -3x+2y=28. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x+2\left(-4\right)=28$$

اضرب 2 في -4.

$$-3x-8=28$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$-3x=36$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=-12$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-12,y=-4$$