حل {l}{x=2y}{5y=3x+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 y } \\ { 5 y = 3 x + 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2y من الطرفين.

$$x-2y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3x من الطرفين.

$$5y-3x=1$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-2y=0$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$x=2y$$

عوّض عن x بالقيمة 2y في المعادلة الأخرى، -3x+5y=1.

$$-3\times 2y+5y=1$$

اضرب -3 في 2y.

$$-6y+5y=1$$

اجمع -6y مع 5y.

$$-y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=2y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2\left(-1\right)$$

اضرب 2 في -1.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2y من الطرفين.

$$x-2y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3x من الطرفين.

$$5y-3x=1$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-2\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2y من الطرفين.

$$x-2y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 3x من الطرفين.

$$5y-3x=1$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

لجعل x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=0,-3x+5y=1$$

تبسيط.

$$-3x+6y=0,-3x+5y=1$$

اطرح -3x+5y=1 من -3x+6y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3x+3x+6y-5y=-1$$

اجمع -3x مع 3x. حذف الحدين -3x و3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-5y=-1$$

اجمع 6y مع -5y.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في -3x+5y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x+5\left(-1\right)=1$$

اضرب 5 في -1.

$$-3x-5=1$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$-3x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=-1$$