حل {l}{x=2-y}{-2x+y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 - y } \\ { - 2 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$y = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة y لكلا الجانبين.

$$x+y=2$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=2,-2x+y=6$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=2$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -y+2 في المعادلة الأخرى، -2x+y=6.

$$-2\left(-y+2\right)+y=6$$

اضرب -2 في -y+2.

$$2y-4+y=6$$

اجمع 2y مع y.

$$3y-4=6$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$3y=10$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{10}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{10}{3} في x=-y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{10}{3}+2$$

اجمع 2 مع -\frac{10}{3}.

$$x=-\frac{4}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{4}{3},y=\frac{10}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة y لكلا الجانبين.

$$x+y=2$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=2,-2x+y=6$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 6\\\frac{2}{3}\times 2+\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{4}{3},y=\frac{10}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة y لكلا الجانبين.

$$x+y=2$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=2,-2x+y=6$$

اطرح -2x+y=6 من x+y=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$x+2x+y-y=2-6$$

اجمع y مع -y. حذف الحدين y و-y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$x+2x=2-6$$

اجمع x مع 2x.

$$3x=2-6$$

اجمع 2 مع -6.

$$3x=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-\frac{4}{3}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{4}{3} في -2x+y=6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-2\left(-\frac{4}{3}\right)+y=6$$

اضرب -2 في -\frac{4}{3}.

$$\frac{8}{3}+y=6$$

اطرح \frac{8}{3} من طرفي المعادلة.

$$y=\frac{10}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{4}{3},y=\frac{10}{3}$$