حل {l}{x=-1/4y+5}{3x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = - \frac { 1 } { 4 } y + 5 } \\ { 3 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=8$$

$$y=-12$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة \frac{1}{4}y لكلا الجانبين.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

اطرح \frac{y}{4} من طرفي المعادلة.

$$x=-\frac{1}{4}y+5$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{4}+5 في المعادلة الأخرى، 3x+2y=0.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+5\right)+2y=0$$

اضرب 3 في -\frac{y}{4}+5.

$$-\frac{3}{4}y+15+2y=0$$

اجمع -\frac{3y}{4} مع 2y.

$$\frac{5}{4}y+15=0$$

اطرح 15 من طرفي المعادلة.

$$\frac{5}{4}y=-15$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{5}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-12$$

عوّض عن y بالقيمة -12 في x=-\frac{1}{4}y+5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-12\right)+5$$

اضرب -\frac{1}{4} في -12.

$$x=3+5$$

اجمع 5 مع 3.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=-12$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة \frac{1}{4}y لكلا الجانبين.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{4}\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\frac{1}{4}\times 3}&-\frac{\frac{1}{4}}{2-\frac{1}{4}\times 3}\\-\frac{3}{2-\frac{1}{4}\times 3}&\frac{1}{2-\frac{1}{4}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\times 5\\-\frac{12}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-12\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=8,y=-12$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. إضافة \frac{1}{4}y لكلا الجانبين.

$$x+\frac{1}{4}y=5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+\frac{1}{4}y=5,3x+2y=0$$

لجعل x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3x+3\times \frac{1}{4}y=3\times 5,3x+2y=0$$

تبسيط.

$$3x+\frac{3}{4}y=15,3x+2y=0$$

اطرح 3x+2y=0 من 3x+\frac{3}{4}y=15 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+\frac{3}{4}y-2y=15$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{3}{4}y-2y=15$$

اجمع \frac{3y}{4} مع -2y.

$$-\frac{5}{4}y=15$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{5}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-12$$

عوّض عن y بالقيمة -12 في 3x+2y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+2\left(-12\right)=0$$

اضرب 2 في -12.

$$3x-24=0$$

أضف 24 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=24$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=8$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=8,y=-12$$