حل {l}{x=3/4y}{y=8/9x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-9$$

$$y=-12$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{3}{4}y من الطرفين.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{8}{9}x من الطرفين.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

أضف \frac{3y}{4} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{3}{4}y$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{4} في المعادلة الأخرى، -\frac{8}{9}x+y=-4.

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

اضرب -\frac{8}{9} في \frac{3y}{4}.

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

اجمع -\frac{2y}{3} مع y.

$$\frac{1}{3}y=-4$$

ضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y=-12$$

عوّض عن y بالقيمة -12 في x=\frac{3}{4}y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

اضرب \frac{3}{4} في -12.

$$x=-9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-9,y=-12$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{3}{4}y من الطرفين.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{8}{9}x من الطرفين.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-9,y=-12$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح \frac{3}{4}y من الطرفين.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{8}{9}x من الطرفين.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

لجعل x و-\frac{8x}{9} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -\frac{8}{9} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

تبسيط.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

اطرح -\frac{8}{9}x+y=-4 من -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

اجمع -\frac{8x}{9} مع \frac{8x}{9}. حذف الحدين -\frac{8x}{9} و\frac{8x}{9}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

اجمع \frac{2y}{3} مع -y.

$$-\frac{1}{3}y=4$$

ضرب طرفي المعادلة في -3.

$$y=-12$$

عوّض عن y بالقيمة -12 في -\frac{8}{9}x+y=-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

أضف 12 إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{8}{9}x=8$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{8}{9}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=-9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-9,y=-12$$