حل {l}{x+y=9}{100x+50y=4500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 9 } \\ { 100 x + 50 y = 4500 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=81$$

$$y=-72$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=9,100x+50y=4500$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=9$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+9$$

عوّض عن x بالقيمة -y+9 في المعادلة الأخرى، 100x+50y=4500.

$$100\left(-y+9\right)+50y=4500$$

اضرب 100 في -y+9.

$$-100y+900+50y=4500$$

اجمع -100y مع 50y.

$$-50y+900=4500$$

اطرح 900 من طرفي المعادلة.

$$-50y=3600$$

قسمة طرفي المعادلة على -50.

$$y=-72$$

عوّض عن y بالقيمة -72 في x=-y+9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-72\right)+9$$

اضرب -1 في -72.

$$x=72+9$$

اجمع 9 مع 72.

$$x=81$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=81,y=-72$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=9,100x+50y=4500$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\100&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4500\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\100&50\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\100&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\100&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\100&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4500\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\100&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4500\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\100&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4500\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-100}&-\frac{1}{50-100}\\-\frac{100}{50-100}&\frac{1}{50-100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\4500\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{50}\\2&-\frac{1}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\4500\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9+\frac{1}{50}\times 4500\\2\times 9-\frac{1}{50}\times 4500\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}81\\-72\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=81,y=-72$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=9,100x+50y=4500$$

لجعل x و100x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 100 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$100x+100y=100\times 9,100x+50y=4500$$

تبسيط.

$$100x+100y=900,100x+50y=4500$$

اطرح 100x+50y=4500 من 100x+100y=900 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$100x-100x+100y-50y=900-4500$$

اجمع 100x مع -100x. حذف الحدين 100x و-100x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$100y-50y=900-4500$$

اجمع 100y مع -50y.

$$50y=900-4500$$

اجمع 900 مع -4500.

$$50y=-3600$$

قسمة طرفي المعادلة على 50.

$$y=-72$$

عوّض عن y بالقيمة -72 في 100x+50y=4500. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$100x+50\left(-72\right)=4500$$

اضرب 50 في -72.

$$100x-3600=4500$$

أضف 3600 إلى طرفي المعادلة.

$$100x=8100$$

قسمة طرفي المعادلة على 100.

$$x=81$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=81,y=-72$$