حل {l}{x+y=9}{1/300y+1/50x=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 9 } \\ { \frac { 1 } { 300 } y + \frac { 1 } { 50 } x = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{2691}{5} = 538\frac{1}{5} = 538.2$$

$$y = -\frac{2646}{5} = -529\frac{1}{5} = -529.2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=9,\frac{1}{50}x+\frac{1}{300}y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=9$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+9$$

عوّض عن x بالقيمة -y+9 في المعادلة الأخرى، \frac{1}{50}x+\frac{1}{300}y=9.

$$\frac{1}{50}\left(-y+9\right)+\frac{1}{300}y=9$$

اضرب \frac{1}{50} في -y+9.

$$-\frac{1}{50}y+\frac{9}{50}+\frac{1}{300}y=9$$

اجمع -\frac{y}{50} مع \frac{y}{300}.

$$-\frac{1}{60}y+\frac{9}{50}=9$$

اطرح \frac{9}{50} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1}{60}y=\frac{441}{50}$$

ضرب طرفي المعادلة في -60.

$$y=-\frac{2646}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2646}{5} في x=-y+9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-\frac{2646}{5}\right)+9$$

اضرب -1 في -\frac{2646}{5}.

$$x=\frac{2646}{5}+9$$

اجمع 9 مع \frac{2646}{5}.

$$x=\frac{2691}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{2691}{5},y=-\frac{2646}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=9,\frac{1}{50}x+\frac{1}{300}y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{50}&\frac{1}{300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{50}&\frac{1}{300}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{50}&\frac{1}{300}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{50}&\frac{1}{300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{50}&\frac{1}{300}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{50}&\frac{1}{300}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{50}&\frac{1}{300}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{300}}{\frac{1}{300}-\frac{1}{50}}&-\frac{1}{\frac{1}{300}-\frac{1}{50}}\\-\frac{\frac{1}{50}}{\frac{1}{300}-\frac{1}{50}}&\frac{1}{\frac{1}{300}-\frac{1}{50}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&60\\\frac{6}{5}&-60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 9+60\times 9\\\frac{6}{5}\times 9-60\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2691}{5}\\-\frac{2646}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{2691}{5},y=-\frac{2646}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=9,\frac{1}{50}x+\frac{1}{300}y=9$$

لجعل x و\frac{x}{50} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{1}{50} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$\frac{1}{50}x+\frac{1}{50}y=\frac{1}{50}\times 9,\frac{1}{50}x+\frac{1}{300}y=9$$

تبسيط.

$$\frac{1}{50}x+\frac{1}{50}y=\frac{9}{50},\frac{1}{50}x+\frac{1}{300}y=9$$

اطرح \frac{1}{50}x+\frac{1}{300}y=9 من \frac{1}{50}x+\frac{1}{50}y=\frac{9}{50} عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{1}{50}x-\frac{1}{50}x+\frac{1}{50}y-\frac{1}{300}y=\frac{9}{50}-9$$

اجمع \frac{x}{50} مع -\frac{x}{50}. حذف الحدين \frac{x}{50} و-\frac{x}{50}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{1}{50}y-\frac{1}{300}y=\frac{9}{50}-9$$

اجمع \frac{y}{50} مع -\frac{y}{300}.

$$\frac{1}{60}y=\frac{9}{50}-9$$

اجمع \frac{9}{50} مع -9.

$$\frac{1}{60}y=-\frac{441}{50}$$

ضرب طرفي المعادلة في 60.

$$y=-\frac{2646}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{2646}{5} في \frac{1}{50}x+\frac{1}{300}y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{1}{50}x+\frac{1}{300}\left(-\frac{2646}{5}\right)=9$$

اضرب \frac{1}{300} في -\frac{2646}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$\frac{1}{50}x-\frac{441}{250}=9$$

أضف \frac{441}{250} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{50}x=\frac{2691}{250}$$

ضرب طرفي المعادلة في 50.

$$x=\frac{2691}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{2691}{5},y=-\frac{2646}{5}$$