حل {l}{x+y=6}{3x-y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 6 } \\ { 3 x - y = - 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=6,3x-y=-2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=6$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+6$$

عوّض عن x بالقيمة -y+6 في المعادلة الأخرى، 3x-y=-2.

$$3\left(-y+6\right)-y=-2$$

اضرب 3 في -y+6.

$$-3y+18-y=-2$$

اجمع -3y مع -y.

$$-4y+18=-2$$

اطرح 18 من طرفي المعادلة.

$$-4y=-20$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-y+6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5+6$$

اجمع 6 مع -5.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=6,3x-y=-2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\left(-2\right)\\\frac{3}{4}\times 6-\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=6,3x-y=-2$$

لجعل x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3x+3y=3\times 6,3x-y=-2$$

تبسيط.

$$3x+3y=18,3x-y=-2$$

اطرح 3x-y=-2 من 3x+3y=18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+3y+y=18+2$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y+y=18+2$$

اجمع 3y مع y.

$$4y=18+2$$

اجمع 18 مع 2.

$$4y=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في 3x-y=-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-5=-2$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=5$$