حل {l}{x+y=6}{2x-2y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 6 } \\ { 2 x - 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=6,2x-2y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=6$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+6$$

عوّض عن x بالقيمة -y+6 في المعادلة الأخرى، 2x-2y=4.

$$2\left(-y+6\right)-2y=4$$

اضرب 2 في -y+6.

$$-2y+12-2y=4$$

اجمع -2y مع -2y.

$$-4y+12=4$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$-4y=-8$$

قسمة طرفي المعادلة على -4.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-y+6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2+6$$

اجمع 6 مع -2.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=6,2x-2y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 4\\\frac{1}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=6,2x-2y=4$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2y=2\times 6,2x-2y=4$$

تبسيط.

$$2x+2y=12,2x-2y=4$$

اطرح 2x-2y=4 من 2x+2y=12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+2y+2y=12-4$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+2y=12-4$$

اجمع 2y مع 2y.

$$4y=12-4$$

اجمع 12 مع -4.

$$4y=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 2x-2y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-2\times 2=4$$

اضرب -2 في 2.

$$2x-4=4$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=2$$