حل {l}{x+y=50}{5x+7y=300}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 50 } \\ { 5 x + 7 y = 300 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=25$$

$$y=25$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=50,5x+7y=300$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=50$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+50$$

عوّض عن x بالقيمة -y+50 في المعادلة الأخرى، 5x+7y=300.

$$5\left(-y+50\right)+7y=300$$

اضرب 5 في -y+50.

$$-5y+250+7y=300$$

اجمع -5y مع 7y.

$$2y+250=300$$

اطرح 250 من طرفي المعادلة.

$$2y=50$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=25$$

عوّض عن y بالقيمة 25 في x=-y+50. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-25+50$$

اجمع 50 مع -25.

$$x=25$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=25,y=25$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=50,5x+7y=300$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-5}&-\frac{1}{7-5}\\-\frac{5}{7-5}&\frac{1}{7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\300\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 50-\frac{1}{2}\times 300\\-\frac{5}{2}\times 50+\frac{1}{2}\times 300\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=25,y=25$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=50,5x+7y=300$$

لجعل x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$5x+5y=5\times 50,5x+7y=300$$

تبسيط.

$$5x+5y=250,5x+7y=300$$

اطرح 5x+7y=300 من 5x+5y=250 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x+5y-7y=250-300$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y-7y=250-300$$

اجمع 5y مع -7y.

$$-2y=250-300$$

اجمع 250 مع -300.

$$-2y=-50$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=25$$

عوّض عن y بالقيمة 25 في 5x+7y=300. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+7\times 25=300$$

اضرب 7 في 25.

$$5x+175=300$$

اطرح 175 من طرفي المعادلة.

$$5x=125$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=25$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=25,y=25$$