حل {l}{x+y=45}{18x+120y=6000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=45$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+45$$

عوّض عن x بالقيمة -y+45 في المعادلة الأخرى، 18x+120y=6000.

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

اضرب 18 في -y+45.

$$-18y+810+120y=6000$$

اجمع -18y مع 120y.

$$102y+810=6000$$

اطرح 810 من طرفي المعادلة.

$$102y=5190$$

قسمة طرفي المعادلة على 102.

$$y=\frac{865}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{865}{17} في x=-y+45. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

اجمع 45 مع -\frac{865}{17}.

$$x=-\frac{100}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

لجعل x و18x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 18 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

تبسيط.

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

اطرح 18x+120y=6000 من 18x+18y=810 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

اجمع 18x مع -18x. حذف الحدين 18x و-18x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$18y-120y=810-6000$$

اجمع 18y مع -120y.

$$-102y=810-6000$$

اجمع 810 مع -6000.

$$-102y=-5190$$

قسمة طرفي المعادلة على -102.

$$y=\frac{865}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{865}{17} في 18x+120y=6000. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

اضرب 120 في \frac{865}{17}.

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

اطرح \frac{103800}{17} من طرفي المعادلة.

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

قسمة طرفي المعادلة على 18.

$$x=-\frac{100}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$