حل {l}{x+y=4}{3x-3y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { 3 x - 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=4,3x-3y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=4$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -y+4 في المعادلة الأخرى، 3x-3y=12.

$$3\left(-y+4\right)-3y=12$$

اضرب 3 في -y+4.

$$-3y+12-3y=12$$

اجمع -3y مع -3y.

$$-6y+12=12$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$-6y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=-y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=4,3x-3y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3}&-\frac{1}{-3-3}\\-\frac{3}{-3-3}&\frac{1}{-3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{6}\times 12\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=4,3x-3y=12$$

لجعل x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3x+3y=3\times 4,3x-3y=12$$

تبسيط.

$$3x+3y=12,3x-3y=12$$

اطرح 3x-3y=12 من 3x+3y=12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+3y+3y=12-12$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y+3y=12-12$$

اجمع 3y مع 3y.

$$6y=12-12$$

اجمع 12 مع -12.

$$6y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في 3x-3y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=0$$