حل {l}{x+y=4}{2x-y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { 2 x - y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=4,2x-y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=4$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -y+4 في المعادلة الأخرى، 2x-y=3.

$$2\left(-y+4\right)-y=3$$

اضرب 2 في -y+4.

$$-2y+8-y=3$$

اجمع -2y مع -y.

$$-3y+8=3$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$-3y=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=\frac{5}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{5}{3} في x=-y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{3}+4$$

اجمع 4 مع -\frac{5}{3}.

$$x=\frac{7}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7}{3},y=\frac{5}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=4,2x-y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 3\\\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{7}{3},y=\frac{5}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=4,2x-y=3$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2y=2\times 4,2x-y=3$$

تبسيط.

$$2x+2y=8,2x-y=3$$

اطرح 2x-y=3 من 2x+2y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+2y+y=8-3$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+y=8-3$$

اجمع 2y مع y.

$$3y=8-3$$

اجمع 8 مع -3.

$$3y=5$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{5}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{5}{3} في 2x-y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-\frac{5}{3}=3$$

أضف \frac{5}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{14}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{7}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7}{3},y=\frac{5}{3}$$