حل {l}{x+y=4}{10y+x=(10x+y)-27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) - 27 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 10x من الطرفين.

$$10y+x-10x=y-27$$

اجمع x مع -10x لتحصل على -9x.

$$10y-9x=y-27$$

اطرح y من الطرفين.

$$10y-9x-y=-27$$

اجمع 10y مع -y لتحصل على 9y.

$$9y-9x=-27$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=4,-9x+9y=-27$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=4$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+4$$

عوّض عن x بالقيمة -y+4 في المعادلة الأخرى، -9x+9y=-27.

$$-9\left(-y+4\right)+9y=-27$$

اضرب -9 في -y+4.

$$9y-36+9y=-27$$

اجمع 9y مع 9y.

$$18y-36=-27$$

أضف 36 إلى طرفي المعادلة.

$$18y=9$$

قسمة طرفي المعادلة على 18.

$$y=\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{2} في x=-y+4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}+4$$

اجمع 4 مع -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{7}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7}{2},y=\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 10x من الطرفين.

$$10y+x-10x=y-27$$

اجمع x مع -10x لتحصل على -9x.

$$10y-9x=y-27$$

اطرح y من الطرفين.

$$10y-9x-y=-27$$

اجمع 10y مع -y لتحصل على 9y.

$$9y-9x=-27$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=4,-9x+9y=-27$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9-\left(-9\right)}&-\frac{1}{9-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{9-\left(-9\right)}&\frac{1}{9-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{18}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-27\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{18}\left(-27\right)\\\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{18}\left(-27\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{7}{2},y=\frac{1}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 10x من الطرفين.

$$10y+x-10x=y-27$$

اجمع x مع -10x لتحصل على -9x.

$$10y-9x=y-27$$

اطرح y من الطرفين.

$$10y-9x-y=-27$$

اجمع 10y مع -y لتحصل على 9y.

$$9y-9x=-27$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=4,-9x+9y=-27$$

لجعل x و-9x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -9 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-9x-9y=-9\times 4,-9x+9y=-27$$

تبسيط.

$$-9x-9y=-36,-9x+9y=-27$$

اطرح -9x+9y=-27 من -9x-9y=-36 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-9x+9x-9y-9y=-36+27$$

اجمع -9x مع 9x. حذف الحدين -9x و9x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-9y-9y=-36+27$$

اجمع -9y مع -9y.

$$-18y=-36+27$$

اجمع -36 مع 27.

$$-18y=-9$$

قسمة طرفي المعادلة على -18.

$$y=\frac{1}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{2} في -9x+9y=-27. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-9x+9\times \frac{1}{2}=-27$$

اضرب 9 في \frac{1}{2}.

$$-9x+\frac{9}{2}=-27$$

اطرح \frac{9}{2} من طرفي المعادلة.

$$-9x=-\frac{63}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$x=\frac{7}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7}{2},y=\frac{1}{2}$$