حل {l}{x+y=30}{20x+25y=640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 20 x + 25 y = 640 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=22$$

$$y=8$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=30,20x+25y=640$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=30$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+30$$

عوّض عن x بالقيمة -y+30 في المعادلة الأخرى، 20x+25y=640.

$$20\left(-y+30\right)+25y=640$$

اضرب 20 في -y+30.

$$-20y+600+25y=640$$

اجمع -20y مع 25y.

$$5y+600=640$$

اطرح 600 من طرفي المعادلة.

$$5y=40$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=8$$

عوّض عن y بالقيمة 8 في x=-y+30. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-8+30$$

اجمع 30 مع -8.

$$x=22$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=22,y=8$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=30,20x+25y=640$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-20}&-\frac{1}{25-20}\\-\frac{20}{25-20}&\frac{1}{25-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-\frac{1}{5}\\-4&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\640\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 30-\frac{1}{5}\times 640\\-4\times 30+\frac{1}{5}\times 640\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\8\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=22,y=8$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=30,20x+25y=640$$

لجعل x و20x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 20 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$20x+20y=20\times 30,20x+25y=640$$

تبسيط.

$$20x+20y=600,20x+25y=640$$

اطرح 20x+25y=640 من 20x+20y=600 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$20x-20x+20y-25y=600-640$$

اجمع 20x مع -20x. حذف الحدين 20x و-20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$20y-25y=600-640$$

اجمع 20y مع -25y.

$$-5y=600-640$$

اجمع 600 مع -640.

$$-5y=-40$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=8$$

عوّض عن y بالقيمة 8 في 20x+25y=640. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$20x+25\times 8=640$$

اضرب 25 في 8.

$$20x+200=640$$

اطرح 200 من طرفي المعادلة.

$$20x=440$$

قسمة طرفي المعادلة على 20.

$$x=22$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=22,y=8$$