حل {l}{x+y=30}{2x+25y=698}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30 } \\ { 2 x + 25 y = 698 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{52}{23} = 2\frac{6}{23} \approx 2.260869565$$

$$y = \frac{638}{23} = 27\frac{17}{23} \approx 27.739130435$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=30,2x+25y=698$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=30$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+30$$

عوّض عن x بالقيمة -y+30 في المعادلة الأخرى، 2x+25y=698.

$$2\left(-y+30\right)+25y=698$$

اضرب 2 في -y+30.

$$-2y+60+25y=698$$

اجمع -2y مع 25y.

$$23y+60=698$$

اطرح 60 من طرفي المعادلة.

$$23y=638$$

قسمة طرفي المعادلة على 23.

$$y=\frac{638}{23}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{638}{23} في x=-y+30. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{638}{23}+30$$

اجمع 30 مع -\frac{638}{23}.

$$x=\frac{52}{23}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=30,2x+25y=698$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{25-2}&-\frac{1}{25-2}\\-\frac{2}{25-2}&\frac{1}{25-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\698\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{23}\times 30-\frac{1}{23}\times 698\\-\frac{2}{23}\times 30+\frac{1}{23}\times 698\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{52}{23}\\\frac{638}{23}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=30,2x+25y=698$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2y=2\times 30,2x+25y=698$$

تبسيط.

$$2x+2y=60,2x+25y=698$$

اطرح 2x+25y=698 من 2x+2y=60 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+2y-25y=60-698$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y-25y=60-698$$

اجمع 2y مع -25y.

$$-23y=60-698$$

اجمع 60 مع -698.

$$-23y=-638$$

قسمة طرفي المعادلة على -23.

$$y=\frac{638}{23}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{638}{23} في 2x+25y=698. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+25\times \frac{638}{23}=698$$

اضرب 25 في \frac{638}{23}.

$$2x+\frac{15950}{23}=698$$

اطرح \frac{15950}{23} من طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{104}{23}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{52}{23}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{52}{23},y=\frac{638}{23}$$