حل {l}{x+y=220}{3/5x=38y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 3 } { 5 } x = 38 y - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{41775}{193} = 216\frac{87}{193} \approx 216.450777202$$

$$y = \frac{685}{193} = 3\frac{106}{193} \approx 3.549222798$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 38y من الطرفين.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=220$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+220$$

عوّض عن x بالقيمة -y+220 في المعادلة الأخرى، \frac{3}{5}x-38y=-5.

$$\frac{3}{5}\left(-y+220\right)-38y=-5$$

اضرب \frac{3}{5} في -y+220.

$$-\frac{3}{5}y+132-38y=-5$$

اجمع -\frac{3y}{5} مع -38y.

$$-\frac{193}{5}y+132=-5$$

اطرح 132 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{193}{5}y=-137$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{193}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{685}{193}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{685}{193} في x=-y+220. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{685}{193}+220$$

اجمع 220 مع -\frac{685}{193}.

$$x=\frac{41775}{193}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 38y من الطرفين.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{5}&-38\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{38}{-38-\frac{3}{5}}&-\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\\-\frac{\frac{3}{5}}{-38-\frac{3}{5}}&\frac{1}{-38-\frac{3}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}&\frac{5}{193}\\\frac{3}{193}&-\frac{5}{193}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{190}{193}\times 220+\frac{5}{193}\left(-5\right)\\\frac{3}{193}\times 220-\frac{5}{193}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41775}{193}\\\frac{685}{193}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 38y من الطرفين.

$$\frac{3}{5}x-38y=-5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

لجعل x و\frac{3x}{5} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{3}{5} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=\frac{3}{5}\times 220,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

تبسيط.

$$\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132,\frac{3}{5}x-38y=-5$$

اطرح \frac{3}{5}x-38y=-5 من \frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y=132 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}x+\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

اجمع \frac{3x}{5} مع -\frac{3x}{5}. حذف الحدين \frac{3x}{5} و-\frac{3x}{5}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{3}{5}y+38y=132+5$$

اجمع \frac{3y}{5} مع 38y.

$$\frac{193}{5}y=132+5$$

اجمع 132 مع 5.

$$\frac{193}{5}y=137$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{193}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{685}{193}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{685}{193} في \frac{3}{5}x-38y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{3}{5}x-38\times \frac{685}{193}=-5$$

اضرب -38 في \frac{685}{193}.

$$\frac{3}{5}x-\frac{26030}{193}=-5$$

أضف \frac{26030}{193} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{5}x=\frac{25065}{193}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{41775}{193}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{41775}{193},y=\frac{685}{193}$$