حل {l}{x+y=220}{2/5x=3/8y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x = \frac { 3 } { 8 } y - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=100$$

$$y=120$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{3}{8}y من الطرفين.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=220$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+220$$

عوّض عن x بالقيمة -y+220 في المعادلة الأخرى، \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5.

$$\frac{2}{5}\left(-y+220\right)-\frac{3}{8}y=-5$$

اضرب \frac{2}{5} في -y+220.

$$-\frac{2}{5}y+88-\frac{3}{8}y=-5$$

اجمع -\frac{2y}{5} مع -\frac{3y}{8}.

$$-\frac{31}{40}y+88=-5$$

اطرح 88 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{31}{40}y=-93$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{31}{40}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=120$$

عوّض عن y بالقيمة 120 في x=-y+220. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-120+220$$

اجمع 220 مع -120.

$$x=100$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=100,y=120$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{3}{8}y من الطرفين.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{8}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&-\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}&\frac{40}{31}\\\frac{16}{31}&-\frac{40}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}\times 220+\frac{40}{31}\left(-5\right)\\\frac{16}{31}\times 220-\frac{40}{31}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=100,y=120$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{3}{8}y من الطرفين.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

لجعل x و\frac{2x}{5} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في \frac{2}{5} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

تبسيط.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

اطرح \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 من \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

اجمع \frac{2x}{5} مع -\frac{2x}{5}. حذف الحدين \frac{2x}{5} و-\frac{2x}{5}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

اجمع \frac{2y}{5} مع \frac{3y}{8}.

$$\frac{31}{40}y=88+5$$

اجمع 88 مع 5.

$$\frac{31}{40}y=93$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{31}{40}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=120$$

عوّض عن y بالقيمة 120 في \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}\times 120=-5$$

اضرب -\frac{3}{8} في 120.

$$\frac{2}{5}x-45=-5$$

أضف 45 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{2}{5}x=40$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{2}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=100$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=100,y=120$$