حل {l}{x+y=204}{2/3y=3/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=96$$

$$y=108$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{3}{4}x من الطرفين.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=204$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+204$$

عوّض عن x بالقيمة -y+204 في المعادلة الأخرى، -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0.

$$-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0$$

اضرب -\frac{3}{4} في -y+204.

$$\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0$$

اجمع \frac{3y}{4} مع \frac{2y}{3}.

$$\frac{17}{12}y-153=0$$

أضف 153 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{17}{12}y=153$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{17}{12}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=108$$

عوّض عن y بالقيمة 108 في x=-y+204. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-108+204$$

اجمع 204 مع -108.

$$x=96$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=96,y=108$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{3}{4}x من الطرفين.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=96,y=108$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح \frac{3}{4}x من الطرفين.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

لجعل x و-\frac{3x}{4} متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -\frac{3}{4} وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

تبسيط.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

اطرح -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 من -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

اجمع -\frac{3x}{4} مع \frac{3x}{4}. حذف الحدين -\frac{3x}{4} و\frac{3x}{4}، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

اجمع -\frac{3y}{4} مع -\frac{2y}{3}.

$$-\frac{17}{12}y=-153$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{17}{12}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=108$$

عوّض عن y بالقيمة 108 في -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0$$

اضرب \frac{2}{3} في 108.

$$-\frac{3}{4}x+72=0$$

اطرح 72 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{3}{4}x=-72$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{3}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=96$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=96,y=108$$