حل {l}{x+y=2}{5x+3y=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { 5 x + 3 y = 13 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$y = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=2,5x+3y=13$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=2$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -y+2 في المعادلة الأخرى، 5x+3y=13.

$$5\left(-y+2\right)+3y=13$$

اضرب 5 في -y+2.

$$-5y+10+3y=13$$

اجمع -5y مع 3y.

$$-2y+10=13$$

اطرح 10 من طرفي المعادلة.

$$-2y=3$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=-\frac{3}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{3}{2} في x=-y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

اضرب -1 في -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}+2$$

اجمع 2 مع \frac{3}{2}.

$$x=\frac{7}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=2,5x+3y=13$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-5}&-\frac{1}{3-5}\\-\frac{5}{3-5}&\frac{1}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\times 2+\frac{1}{2}\times 13\\\frac{5}{2}\times 2-\frac{1}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{3}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=2,5x+3y=13$$

لجعل x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$5x+5y=5\times 2,5x+3y=13$$

تبسيط.

$$5x+5y=10,5x+3y=13$$

اطرح 5x+3y=13 من 5x+5y=10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x+5y-3y=10-13$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y-3y=10-13$$

اجمع 5y مع -3y.

$$2y=10-13$$

اجمع 10 مع -13.

$$2y=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=-\frac{3}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{3}{2} في 5x+3y=13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+3\left(-\frac{3}{2}\right)=13$$

اضرب 3 في -\frac{3}{2}.

$$5x-\frac{9}{2}=13$$

أضف \frac{9}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$5x=\frac{35}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{7}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{7}{2},y=-\frac{3}{2}$$