حل {l}{x+y=187}{4x+2y=284}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 187 } \\ { 4 x + 2 y = 284 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-45$$

$$y=232$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=187,4x+2y=284$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=187$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+187$$

عوّض عن x بالقيمة -y+187 في المعادلة الأخرى، 4x+2y=284.

$$4\left(-y+187\right)+2y=284$$

اضرب 4 في -y+187.

$$-4y+748+2y=284$$

اجمع -4y مع 2y.

$$-2y+748=284$$

اطرح 748 من طرفي المعادلة.

$$-2y=-464$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=232$$

عوّض عن y بالقيمة 232 في x=-y+187. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-232+187$$

اجمع 187 مع -232.

$$x=-45$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-45,y=232$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=187,4x+2y=284$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}187\\284\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}187\\284\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}187\\284\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}187\\284\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-4}&-\frac{1}{2-4}\\-\frac{4}{2-4}&\frac{1}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}187\\284\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\2&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}187\\284\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-187+\frac{1}{2}\times 284\\2\times 187-\frac{1}{2}\times 284\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-45\\232\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-45,y=232$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=187,4x+2y=284$$

لجعل x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4x+4y=4\times 187,4x+2y=284$$

تبسيط.

$$4x+4y=748,4x+2y=284$$

اطرح 4x+2y=284 من 4x+4y=748 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+4y-2y=748-284$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y-2y=748-284$$

اجمع 4y مع -2y.

$$2y=748-284$$

اجمع 748 مع -284.

$$2y=464$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=232$$

عوّض عن y بالقيمة 232 في 4x+2y=284. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+2\times 232=284$$

اضرب 2 في 232.

$$4x+464=284$$

اطرح 464 من طرفي المعادلة.

$$4x=-180$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=-45$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-45,y=232$$