حل {l}{x+y=18}{31x=2(20+y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 18 } \\ { 31 x = 2 ( 20 + y ) } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{76}{33} = 2\frac{10}{33} \approx 2.303030303$$

$$y = \frac{518}{33} = 15\frac{23}{33} \approx 15.696969697$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 20+y.

$$31x=40+2y$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$31x-2y=40$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=18,31x-2y=40$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=18$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+18$$

عوّض عن x بالقيمة -y+18 في المعادلة الأخرى، 31x-2y=40.

$$31\left(-y+18\right)-2y=40$$

اضرب 31 في -y+18.

$$-31y+558-2y=40$$

اجمع -31y مع -2y.

$$-33y+558=40$$

اطرح 558 من طرفي المعادلة.

$$-33y=-518$$

قسمة طرفي المعادلة على -33.

$$y=\frac{518}{33}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{518}{33} في x=-y+18. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{518}{33}+18$$

اجمع 18 مع -\frac{518}{33}.

$$x=\frac{76}{33}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{76}{33},y=\frac{518}{33}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 20+y.

$$31x=40+2y$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$31x-2y=40$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=18,31x-2y=40$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\31&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-31}&-\frac{1}{-2-31}\\-\frac{31}{-2-31}&\frac{1}{-2-31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{33}&\frac{1}{33}\\\frac{31}{33}&-\frac{1}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{33}\times 18+\frac{1}{33}\times 40\\\frac{31}{33}\times 18-\frac{1}{33}\times 40\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{33}\\\frac{518}{33}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{76}{33},y=\frac{518}{33}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في 20+y.

$$31x=40+2y$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$31x-2y=40$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=18,31x-2y=40$$

لجعل x و31x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 31 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$31x+31y=31\times 18,31x-2y=40$$

تبسيط.

$$31x+31y=558,31x-2y=40$$

اطرح 31x-2y=40 من 31x+31y=558 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$31x-31x+31y+2y=558-40$$

اجمع 31x مع -31x. حذف الحدين 31x و-31x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$31y+2y=558-40$$

اجمع 31y مع 2y.

$$33y=558-40$$

اجمع 558 مع -40.

$$33y=518$$

قسمة طرفي المعادلة على 33.

$$y=\frac{518}{33}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{518}{33} في 31x-2y=40. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$31x-2\times \frac{518}{33}=40$$

اضرب -2 في \frac{518}{33}.

$$31x-\frac{1036}{33}=40$$

أضف \frac{1036}{33} إلى طرفي المعادلة.

$$31x=\frac{2356}{33}$$

قسمة طرفي المعادلة على 31.

$$x=\frac{76}{33}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{76}{33},y=\frac{518}{33}$$