حل {l}{x+y=17}{2x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 17 } \\ { 2 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3} \approx 9.333333333$$

$$y = \frac{23}{3} = 7\frac{2}{3} \approx 7.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=17,2x-y=11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=17$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+17$$

عوّض عن x بالقيمة -y+17 في المعادلة الأخرى، 2x-y=11.

$$2\left(-y+17\right)-y=11$$

اضرب 2 في -y+17.

$$-2y+34-y=11$$

اجمع -2y مع -y.

$$-3y+34=11$$

اطرح 34 من طرفي المعادلة.

$$-3y=-23$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=\frac{23}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{23}{3} في x=-y+17. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{23}{3}+17$$

اجمع 17 مع -\frac{23}{3}.

$$x=\frac{28}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{28}{3},y=\frac{23}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=17,2x-y=11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{3}\times 17-\frac{1}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{3}\\\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{28}{3},y=\frac{23}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=17,2x-y=11$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2y=2\times 17,2x-y=11$$

تبسيط.

$$2x+2y=34,2x-y=11$$

اطرح 2x-y=11 من 2x+2y=34 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+2y+y=34-11$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+y=34-11$$

اجمع 2y مع y.

$$3y=34-11$$

اجمع 34 مع -11.

$$3y=23$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=\frac{23}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{23}{3} في 2x-y=11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-\frac{23}{3}=11$$

أضف \frac{23}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{56}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{28}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{28}{3},y=\frac{23}{3}$$