حل {l}{x+y=16}{x^2+y^2=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 16 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 64 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y (complex solution)

$$x=8+4\sqrt{2}i\approx 8+5.656854249i\text{, }y=-4\sqrt{2}i+8\approx 8-5.656854249i$$

$$x=-4\sqrt{2}i+8\approx 8-5.656854249i\text{, }y=8+4\sqrt{2}i\approx 8+5.656854249i$$

خطوات استخدام التعويض والصيغة التربيعية

أوجد قيمة x+y=16 لـ x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=16$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+16$$

عوّض عن x بالقيمة -y+16 في المعادلة الأخرى، y^{2}+x^{2}=64.

$$y^{2}+\left(-y+16\right)^{2}=64$$

مربع -y+16.

$$y^{2}+y^{2}-32y+256=64$$

اجمع y^{2} مع y^{2}.

$$2y^{2}-32y+256=64$$

اطرح 64 من طرفي المعادلة.

$$2y^{2}-32y+192=0$$

هذه المعادلة بالصيغة العامة: ax^{2}+bx+c=0. عوّض عن a بالقيمة 1+1\left(-1\right)^{2} وعن b بالقيمة 1\times 16\left(-1\right)\times 2 وعن c بالقيمة 192 في الصيغة التربيعية، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 2\times 192}}{2\times 2}$$

مربع 1\times 16\left(-1\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 2\times 192}}{2\times 2}$$

اضرب -4 في 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-8\times 192}}{2\times 2}$$

اضرب -8 في 192.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1536}}{2\times 2}$$

اجمع 1024 مع -1536.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{-512}}{2\times 2}$$

استخدم الجذر التربيعي للعدد -512.

$$y=\frac{-\left(-32\right)±16\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

مقابل 1\times 16\left(-1\right)\times 2 هو 32.

$$y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

اضرب 2 في 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{4}$$

حل المعادلة y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{4} الآن عندما يكون ± موجباً. اجمع 32 مع 16i\sqrt{2}.

$$y=\frac{32+2^{\frac{9}{2}}i}{4}$$

اقسم 32+i\times 2^{\frac{9}{2}} على 4.

$$y=8+2^{\frac{5}{2}}i$$

حل المعادلة y=\frac{32±16\sqrt{2}i}{4} الآن عندما يكون ± سالباً. اطرح 16i\sqrt{2} من 32.

$$y=\frac{-2^{\frac{9}{2}}i+32}{4}$$

اقسم 32-i\times 2^{\frac{9}{2}} على 4.

$$y=-2^{\frac{5}{2}}i+8$$

هناك حلان لـ y: 8+i\times 2^{\frac{5}{2}} و8-i\times 2^{\frac{5}{2}}. عوّض عن y بالقيمة 8+i\times 2^{\frac{5}{2}} في المعادلة x=-y+16 لإيجاد الحل المقابل لـ x الذي يحقق المعادلتين.

$$x=-\left(8+2^{\frac{5}{2}}i\right)+16$$

الآن عوض عن y بالقيمة 8-i\times 2^{\frac{5}{2}} في المعادلة x=-y+16 وحل المعادلة لإيجاد الحل المقابل لـ x الذي يحقق المعادلتين.

$$x=-\left(-2^{\frac{5}{2}}i+8\right)+16$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\left(8+2^{\frac{5}{2}}i\right)+16,y=8+2^{\frac{5}{2}}i\text{ or }x=-\left(-2^{\frac{5}{2}}i+8\right)+16,y=-2^{\frac{5}{2}}i+8$$