حل {l}{x+y=15}{250x+80y=2900}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 15 } \\ { 250 x + 80 y = 2900 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=10$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=15$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+15$$

عوّض عن x بالقيمة -y+15 في المعادلة الأخرى، 250x+80y=2900.

$$250\left(-y+15\right)+80y=2900$$

اضرب 250 في -y+15.

$$-250y+3750+80y=2900$$

اجمع -250y مع 80y.

$$-170y+3750=2900$$

اطرح 3750 من طرفي المعادلة.

$$-170y=-850$$

قسمة طرفي المعادلة على -170.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-y+15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5+15$$

اجمع 15 مع -5.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-250}&-\frac{1}{80-250}\\-\frac{250}{80-250}&\frac{1}{80-250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}&\frac{1}{170}\\\frac{25}{17}&-\frac{1}{170}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}\times 15+\frac{1}{170}\times 2900\\\frac{25}{17}\times 15-\frac{1}{170}\times 2900\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=10,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

لجعل x و250x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 250 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$250x+250y=250\times 15,250x+80y=2900$$

تبسيط.

$$250x+250y=3750,250x+80y=2900$$

اطرح 250x+80y=2900 من 250x+250y=3750 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$250x-250x+250y-80y=3750-2900$$

اجمع 250x مع -250x. حذف الحدين 250x و-250x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$250y-80y=3750-2900$$

اجمع 250y مع -80y.

$$170y=3750-2900$$

اجمع 3750 مع -2900.

$$170y=850$$

قسمة طرفي المعادلة على 170.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في 250x+80y=2900. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$250x+80\times 5=2900$$

اضرب 80 في 5.

$$250x+400=2900$$

اطرح 400 من طرفي المعادلة.

$$250x=2500$$

قسمة طرفي المعادلة على 250.

$$x=10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=10,y=5$$