حل {l}{x+y=14}{2x+4y=38}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=9$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=14,2x+4y=38$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=14$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+14$$

عوّض عن x بالقيمة -y+14 في المعادلة الأخرى، 2x+4y=38.

$$2\left(-y+14\right)+4y=38$$

اضرب 2 في -y+14.

$$-2y+28+4y=38$$

اجمع -2y مع 4y.

$$2y+28=38$$

اطرح 28 من طرفي المعادلة.

$$2y=10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-y+14. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-5+14$$

اجمع 14 مع -5.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=14,2x+4y=38$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\38\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 14-\frac{1}{2}\times 38\\-14+\frac{1}{2}\times 38\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=9,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=14,2x+4y=38$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2y=2\times 14,2x+4y=38$$

تبسيط.

$$2x+2y=28,2x+4y=38$$

اطرح 2x+4y=38 من 2x+2y=28 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+2y-4y=28-38$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y-4y=28-38$$

اجمع 2y مع -4y.

$$-2y=28-38$$

اجمع 28 مع -38.

$$-2y=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في 2x+4y=38. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+4\times 5=38$$

اضرب 4 في 5.

$$2x+20=38$$

اطرح 20 من طرفي المعادلة.

$$2x=18$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=5$$