حل {l}{x+y=13}{6x+3.5y=60.75}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 13 } \\ { 6 x + 3.5 y = 60.75 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=6.1$$

$$y=6.9$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=13,6x+3.5y=60.75$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=13$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+13$$

عوّض عن x بالقيمة -y+13 في المعادلة الأخرى، 6x+3.5y=60.75.

$$6\left(-y+13\right)+3.5y=60.75$$

اضرب 6 في -y+13.

$$-6y+78+3.5y=60.75$$

اجمع -6y مع \frac{7y}{2}.

$$-2.5y+78=60.75$$

اطرح 78 من طرفي المعادلة.

$$-2.5y=-17.25$$

اقسم طرفي المعادلة على -2.5، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=6.9$$

عوّض عن y بالقيمة 6.9 في x=-y+13. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-6.9+13$$

اجمع 13 مع -6.9.

$$x=6.1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6.1,y=6.9$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=13,6x+3.5y=60.75$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\60.75\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\6&3.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\60.75\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\60.75\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\60.75\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3.5}{3.5-6}&-\frac{1}{3.5-6}\\-\frac{6}{3.5-6}&\frac{1}{3.5-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\60.75\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1.4&0.4\\2.4&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\60.75\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1.4\times 13+0.4\times 60.75\\2.4\times 13-0.4\times 60.75\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6.1\\6.9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6.1,y=6.9$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=13,6x+3.5y=60.75$$

لجعل x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$6x+6y=6\times 13,6x+3.5y=60.75$$

تبسيط.

$$6x+6y=78,6x+3.5y=60.75$$

اطرح 6x+3.5y=60.75 من 6x+6y=78 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$6x-6x+6y-3.5y=78-60.75$$

اجمع 6x مع -6x. حذف الحدين 6x و-6x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-3.5y=78-60.75$$

اجمع 6y مع -\frac{7y}{2}.

$$2.5y=78-60.75$$

اجمع 78 مع -60.75.

$$2.5y=17.25$$

اقسم طرفي المعادلة على 2.5، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=6.9$$

عوّض عن y بالقيمة 6.9 في 6x+3.5y=60.75. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x+3.5\times 6.9=60.75$$

اضرب 3.5 في 6.9 بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$6x+24.15=60.75$$

اطرح 24.15 من طرفي المعادلة.

$$6x=36.6$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=6.1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6.1,y=6.9$$