حل {l}{x+y=11}{2x-3y=-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 11 } \\ { 2 x - 3 y = - 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=6$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=11,2x-3y=-8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=11$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+11$$

عوّض عن x بالقيمة -y+11 في المعادلة الأخرى، 2x-3y=-8.

$$2\left(-y+11\right)-3y=-8$$

اضرب 2 في -y+11.

$$-2y+22-3y=-8$$

اجمع -2y مع -3y.

$$-5y+22=-8$$

اطرح 22 من طرفي المعادلة.

$$-5y=-30$$

قسمة طرفي المعادلة على -5.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في x=-y+11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-6+11$$

اجمع 11 مع -6.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=6$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=11,2x-3y=-8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 11+\frac{1}{5}\left(-8\right)\\\frac{2}{5}\times 11-\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=6$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=11,2x-3y=-8$$

لجعل x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$2x+2y=2\times 11,2x-3y=-8$$

تبسيط.

$$2x+2y=22,2x-3y=-8$$

اطرح 2x-3y=-8 من 2x+2y=22 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2x-2x+2y+3y=22+8$$

اجمع 2x مع -2x. حذف الحدين 2x و-2x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y+3y=22+8$$

اجمع 2y مع 3y.

$$5y=22+8$$

اجمع 22 مع 8.

$$5y=30$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=6$$

عوّض عن y بالقيمة 6 في 2x-3y=-8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-3\times 6=-8$$

اضرب -3 في 6.

$$2x-18=-8$$

أضف 18 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=10$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=6$$