حل {l}{x+y=1}{5x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 1 } \\ { 5 x - y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=1,5x-y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=1$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y+1$$

عوّض عن x بالقيمة -y+1 في المعادلة الأخرى، 5x-y=1.

$$5\left(-y+1\right)-y=1$$

اضرب 5 في -y+1.

$$-5y+5-y=1$$

اجمع -5y مع -y.

$$-6y+5=1$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$-6y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=\frac{2}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{2}{3} في x=-y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{3}+1$$

اجمع 1 مع -\frac{2}{3}.

$$x=\frac{1}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=1,5x-y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5}&-\frac{1}{-1-5}\\-\frac{5}{-1-5}&\frac{1}{-1-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1+1}{6}\\\frac{5-1}{6}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=1,5x-y=1$$

لجعل x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$5x+5y=5,5x-y=1$$

اطرح 5x-y=1 من 5x+5y=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x+5y+y=5-1$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y+y=5-1$$

اجمع 5y مع y.

$$6y=5-1$$

اجمع 5 مع -1.

$$6y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=\frac{2}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{2}{3} في 5x-y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-\frac{2}{3}=1$$

أضف \frac{2}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$5x=\frac{5}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{2}{3}$$