حل {l}{x+y=-1}{4x-2y=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = - 1 } \\ { 4 x - 2 y = - 16 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-3$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+y=-1$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$x=-y-1$$

عوّض عن x بالقيمة -y-1 في المعادلة الأخرى، 4x-2y=-16.

$$4\left(-y-1\right)-2y=-16$$

اضرب 4 في -y-1.

$$-4y-4-2y=-16$$

اجمع -4y مع -2y.

$$-6y-4=-16$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$-6y=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-y-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2-1$$

اجمع -1 مع -2.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-4}&-\frac{1}{-2-4}\\-\frac{4}{-2-4}&\frac{1}{-2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-16\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{6}\left(-16\right)\\\frac{2}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-3,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+y=-1,4x-2y=-16$$

لجعل x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$4x+4y=4\left(-1\right),4x-2y=-16$$

تبسيط.

$$4x+4y=-4,4x-2y=-16$$

اطرح 4x-2y=-16 من 4x+4y=-4 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+4y+2y=-4+16$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y+2y=-4+16$$

اجمع 4y مع 2y.

$$6y=-4+16$$

اجمع -4 مع 16.

$$6y=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 4x-2y=-16. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-2\times 2=-16$$

اضرب -2 في 2.

$$4x-4=-16$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=-12$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=-3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-3,y=2$$