حل {l}{x+6y=90}{3x+3y=-30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 6 y = 90 } \\ { 3 x + 3 y = - 30 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-30$$

$$y=20$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+6y=90$$

اطرح 6y من طرفي المعادلة.

$$x=-6y+90$$

عوّض عن x بالقيمة -6y+90 في المعادلة الأخرى، 3x+3y=-30.

$$3\left(-6y+90\right)+3y=-30$$

اضرب 3 في -6y+90.

$$-18y+270+3y=-30$$

اجمع -18y مع 3y.

$$-15y+270=-30$$

اطرح 270 من طرفي المعادلة.

$$-15y=-300$$

قسمة طرفي المعادلة على -15.

$$y=20$$

عوّض عن y بالقيمة 20 في x=-6y+90. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-6\times 20+90$$

اضرب -6 في 20.

$$x=-120+90$$

اجمع 90 مع -120.

$$x=-30$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-30,y=20$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-6\times 3}&-\frac{6}{3-6\times 3}\\-\frac{3}{3-6\times 3}&\frac{1}{3-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 90+\frac{2}{5}\left(-30\right)\\\frac{1}{5}\times 90-\frac{1}{15}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-30,y=20$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

لجعل x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$3x+3\times 6y=3\times 90,3x+3y=-30$$

تبسيط.

$$3x+18y=270,3x+3y=-30$$

اطرح 3x+3y=-30 من 3x+18y=270 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$3x-3x+18y-3y=270+30$$

اجمع 3x مع -3x. حذف الحدين 3x و-3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$18y-3y=270+30$$

اجمع 18y مع -3y.

$$15y=270+30$$

اجمع 270 مع 30.

$$15y=300$$

قسمة طرفي المعادلة على 15.

$$y=20$$

عوّض عن y بالقيمة 20 في 3x+3y=-30. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+3\times 20=-30$$

اضرب 3 في 20.

$$3x+60=-30$$

اطرح 60 من طرفي المعادلة.

$$3x=-90$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=-30$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-30,y=20$$